Question

设a＞0,求函数f(x)=-ln(x+a)(x＞0)的单调区间.

Answer 1

解：f′(x)=(x＞0).

当a＞0,x＞0时,f′(x)＞0x+a＞2x²+(2a-4)x+a²＞0，

f′(x)＜0x²+(2a-4)x+a²＜0.

对于函数g(x)=x²+(2a-4)x+a²,由于Δ=（2a-4）²-4a²=-16a+16,

(1)当a＞1时,Δ＜0,对所有x＞0,恒有x²+(2a-4)+a²＞0,

即f′(x)＞0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增.

(2)当a=1时,Δ=0,对x≠1,有x²+(2a-4)x+a²＞0,

即f′(x)＞0,此时f(x)在(0,1)，（1，+∞）内单调递增,又知函数f(x)在x=1处连续,因此,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增.

（3）当0＜a＜1时,令f′(x)＞0,即x²+(2a-4)x+a²＞0.

解得x＜2-a-2或x＞2-a+2.

因此,函数f(x)在区间(0,2-a-2)内单调递增,在区间(2-a+2,+∞)内也单调递增.

令f′(x)＜0,即x²+(2a-4)x+a²＜0,解得2-a-2＜x＜2-a+2.

因此,函数f(x)在区间(2-a-2,2-a+2)内单调递减.