Question

（2013•唐山二模）已知函数f(x)=lnx+

m

x

，曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过点（0，1n2）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[

1

2

，5]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切线斜率k=f′（2），由点斜式可表示出切线方程，代入点（0，1n2）可得m的方程，解出即可；
（Ⅱ）求导数f′（x），利用导数符号判断函数f（x）在[

1

2

，5]上的最小值、端点处的函数值，通过比较可得函数的最大值，从而得到函数f（x）在[

1

2

，5]上的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

．
则f′（2）=

2-m

4

，f（2）=ln2+

m

2

．
则曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线为y=

2-m

4

（x-2）+ln2+

m

2

，即y=

2-m

4

x+m-1+ln2．
依题意，m-1+ln2=ln2，所以m=1．
故f（x）=lnx+

1

x

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=lnx+

1

x

，f′（x）=

x-1

x2

．
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，此时，f（x）∈[1，2-ln2]；
当x∈[1，5]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，此时，f（x）∈[1，ln5+

1

5

]．
因为（ln5+

1

5

）-（2-ln2）=ln10-

9

5

＞lne²-

9

5

=

1

5

，
所以ln5+

1

5

＞2-ln2．
故f（x）的取值范围是[1，ln5+

1

5

]．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、研究函数的单调性，考查学生解决问题的能力．