Question

（2012•江苏二模）记fn(x，y)=(x+y)n-(xn+yn)，其中x，y为正实数，n∈N₊．给定正实数a，b满足a=

b

b-1

．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，f_n（a，b）≥f_n（2，2）．

Answer 1

分析：欲证不等式为（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹，利用数学归纳法证明，第2步，先证明akb+abk≥2

(ab)k+1

=2k+2，再利用归纳假设，即可证得结论．

解答：证明：欲证不等式为（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）^k-a^k-b^k≥2^2k-2^k+1
由正实数a，b满足a=

b

b-1

，可得a+b=ab
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2

ab

，∴ab≥4，a+b=ab≥4，∴akb+abk≥2

(ab)k+1

=2k+2
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）^k+1-a^k+1-b^k+1=（a+b）[（a+b）^k-a^k-b^k]+a^kb+ab^k
≥4（2^2k-2^k+1）+2^k+2=2^2k+2-2^k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足a=

b

b-1

，为（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，证题的关键是第2步，应使用归纳假设．