Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）见解析

【解析】

（1）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调区间.

（2）先由得，判断且后分离常数得到，构造函数（且），利用导数研究函数的单调区间，画出的大致图像，结合图像讨论得函数的零点的个数.

（1）的定义域为

∵在上是增函数，且

∴是 ，时

∴ 在上是减函数，在上是增函数

（2）由得

不是该方程的解 ∴且

∴

令 （且）

则

令

则在上是增函数

又

∴时

时，

∴在，是减函数，在上是增函数，

又，时，

时，

时，

时 ，

∴的大致图象如图所示

∴时有一个零点，

时无零点，

时有一个零点，

时有两个零点，

综上：时有两个零点，

或时有一个零点，

时无零点，