Question

一个多面体的三视图及直观图如图所示：

(Ⅰ)求异面直线AB₁与DD₁所成角的余弦值：

(Ⅱ)试在平面ADD₁A₁中确定一个点F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求二面角F―CC₁―B的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解；依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D1D⊥底面ABCD． 　　AB＝2A1B1＝2DD1＝2a　　2分 　　以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为X，Y，Z轴， 　　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)， 　　A(2a，0，0)，B1(a，a，a)，D1(0，0，a)， 　　B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，C1(0，a，a)　　4分 　　(Ⅰ) 　　 　　即直线AB1与DD1所成角的余弦值为　　6分 　　(Ⅱ)设F(x，0，z)， 　　 　　由FB1平面BCC1B1得 　　即　得即F为DA的中点　　9分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知FB1为平面BCC1B1的法向量． 　　设为平面FCC1的法向量． 　　由　即令y1＝1得x1＝2，z1＝1 　　 　　即二面角F―CC1―B的余弦值为　　12分