Question

已知曲线C：f(x)＝x²，C上点A、A_n的横坐标分别为1和a_n(n∈N*)，且a₁＝5，．记区间D_n＝[1，a_n](a_n＞1)．当x∈D_n时，曲线C上存在点P_n(x_n，f(x_n))，使得点P_n处的切线与直线AA_n平行．

(Ⅰ)试证明：数列{log_a(x_n－1)＋1}是等比数列；

(Ⅱ)当对一切恒成立时，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)记数列{a_n}的前n项和为S_n，当a＝时，试比较S_n与n＋7的大小，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由点的切线与直线平行条件可知，，　　　　2分 　　由可知：， 　　则，设，则， 　　又，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，即是等比数列．　　　　2分 　　则， 　　即，则; 　　(Ⅱ)由条件可知：，　　3分 　　由知，即，则， 　　即．　　　　2分; 　　(Ⅲ)数列的前n项和Sn，当时，＝1＋8