Question

（2013•徐州三模）已知曲线C：f(x)=x+

a

x

(a＞0)，直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．若△ABP的面积为

1

2

，则△OMN的面积为

4

．

Answer 1

分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，可求a，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，代入a值可得答案．

解答：解：由题意设点P（x₀，x0+

a

x0

），则B（0，x0+

a

x0

），
又与直线l垂直的直线向斜率为-1，故方程为y-（x0+

a

x0

）=-（x-x₀）
和方程y=x联立可得x=y=x0+

a

2x0

，故点A（x0+

a

2x0

，x0+

a

2x0

），
故△ABP的面积S=

1

2

|x0||x0+

a

2x0

-(x0+

a

x0

)|
=

1

2

|x0||

a

2x0

|=

1

4

a=

1

2

，解得a=2，
又因为f(x)=x+

a

x

，所以f′(x)=1-

a

x2

，故切线率为k=1-

a

x02

，
故切线的方程为y-（x0+

a

x0

）=（1-

a

x02

）（x-x₀），
令x=0，可得y=

2a

x0

，故点N（0，

2a

x0

），
联立方程y=x可解得x=y=2x₀，即点M（2x₀，2x₀），
故△OMN的面积为

1

2

•|

2a

x0

||2x0|=2a=4，
故答案为：4

点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．