Question

设函数f（x）=x²+ax+b，点（a，b）为函数的对称中心，设数列{a_n}，{b_n}满足，且，{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求a，b的值；
（2）求证：；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由得，结合反比例函数的性质及函数的图象的平移可求函数的对称中心，即可求解a，b
（2）由已知递推公式，代入可得，利用裂项可求s_n，结合数列单调性即可证明
（3）由，可得2log₂（a_n+2）＜2+log₂（a_n+1+2），由此递推即可证明
解答：（1）解：由得，故其对称中心为（2，-2），
所以a=2，b=-2
（2）证明：由
则
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=）
=
又，
则
即，
所以数列{a_n}为递增数列，故a_n+1＞a₁，
所以．
（3）证明：由，
两边取2为底的对数，得2log₂（a_n+2）＜2+log₂（a_n+1+2）
即2[log₂（a_n+2）-2]＜log₂（a_n+1+2）-2
由此递推式得：
所以，
则．
点评：本题以函数的对称中心的求解为载体，主要考查了函数的性质及函数的图象的平移，数列的递推公式的应用及数列求和方法的灵活应用，试题具有一定的综合性