Question

已知直线l：y=k（x-5）及圆C：x²+y²=16．
（1）若直线l与圆C相切，求k的值；
（2）若直线l与圆C交于A、B两点，求当k变动时，弦AB的中点的轨迹．

Answer 1

分析：（1）圆心到直线的距离等于半径，可解出k的值．
（2）设出弦AB的中点，联立直线l：y=k（x-5）及圆C：x²+y²=16．利用韦达定理，表示中点，消参数k即可．
也可以用过圆心与直线l垂直的直线，与直线l的交点就是弦AB的中点来求．

解答：解：（1）直线l与圆C相切，圆心（0，0）到直线l的距离等于半径，即：

|5k|

1+k2

=4，∴k=±

4

3

（2）设弦AB的中点（x，y），则过圆心与直线l垂直的直线：x+ky=0，它与y=k（x-5）联立，因为中点在这两条直线上，所以弦AB的中点的轨迹方程是：x²+y²-5x=0 （x＜

1

5

），轨迹以（

5

2

，0）为圆心，以

5

2

为半径的圆的一部分．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，轨迹方程的求法，消参的方法，是中档题．