题目内容
6．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）
（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．
分析 （Ⅰ）首先由二项分布及其期望公式求得期望，然后利用独立重复试验求得通讯器械正常工作的概率P′；
（Ⅱ）利用互斥事件的概率加法公式及独立重复试验的概率公式求得增加2个元件后通讯器械正常工作的概率，作差后得到关于p的代数式，然后分p的不同范围得答案．
解答 解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：${C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：${C}_{9}^{6}•{p}^{6}•（1-p）^{3}$．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：${C}_{9}^{7}•{p}^{7}•（1-p）^{2}$．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：${C}_{9}^{8}•{p}^{8}•（1-p）^{1}$．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：${C}_{9}^{9}•{p}^{9}•（1-p）^{0}$．
通讯器械正常工作的概率P′=$\sum_{k=5}^{9}{C}_{9}^{k}•{p}^{k}•（1-p）^{9-k}$；
（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，
为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．
①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：${C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}$．
此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：$[{C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}]•$p2；
②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：${C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}$．
此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：$[{C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}]•[1-（1-p）^{2}]$；
③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：${P}^{′}-{C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$；
此时通讯器械正常工作，故它的概率为：
P″=$[{C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}]•$p2+$[{C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}]•[1-（1-p）^{2}]$+${P}^{′}-{C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$，
可得P″-P′=$[{C}_{9}^{4}•{p}^{4}•（1-p）^{5}]•$p2+$[{C}_{9}^{5}•{p}^{5}（1-p）^{4}]•[1-（1-p）^{2}]$-${C}_{9}^{5}•{p}^{5}•（1-p）^{4}$，
=${p}^{5}（1-p）^{4}•{C}_{9}^{5}[p（1-p）+1-（1-p）^{2}-1]$=${p}^{5}（1-p）^{4}•{C}_{9}^{5}（2p-1）$．
故当p=$\frac{1}{2}$时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；
当0＜p$＜\frac{1}{2}$时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；
当p$＞\frac{1}{2}$时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．
点评 本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．
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