Question

设函数.

（Ⅰ）试问函数f(x)能否在x= －1时取得极值？说明理由；

（Ⅱ）若a= －1，当x∈［-3,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围.

Answer 1

解：（1） 由题意f′(x)=x²-2ax-a，

假设在x=-1时f(x)取得极值，则有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，………… 4分

而此时,f′(x)=x²+2x+1=(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.

这与f(x)在x=-1有极值矛盾，所以f(x)在x=-1处无极值.…………………… 6分

（2） 设f(x)=g(x)，则有x³-x²-3x-c=0，∴c=x³-x²-3x,

设F(x)= x³-x²-3x,G(x)=c，令F′(x)=x²-2x-3=0,解得x₁=-1或x=3.

列表如下：

x	-3	(-3,-1)	-1	(-1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		+	0	-	0	+
F(x)	-9	增		减	-9	增	-

由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数.……………10分

当x=-1时，F(x)取得极大值；当x=3时，F(x)取得极小值

F(-3)=F(3)=-9，而.

如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，

所以或c=-9.………………………………………………15分