Question

设函数．
（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：
（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，恒成立．

Answer 1

解：（1）∵函数，∴f^′（x）=3x²-t．
1°若t≤0，则f^′（x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
2°若t≥3时，∵3x²≤3，∴f^′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；
3°若0＜t＜3，则，令f^′（x）=0，解得，
当时，f^′（x）＜0，∴f（x）在上单调递减；
当时，f^′（x）＞0，∴f（x）在上单调递增．
（2）?，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，的最小值即可．
方法一：令g（x）=f（x）+，x∈[0，1]，
而g^′（x）=f^′（x），由（1）的结论可知：
当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x）_min=min{g（0），g（1）}=min{，}=0．
当0＜t＜3时，则=-．
∴h（t）=．
下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．
当t∈（0，1）时，h（t）=在（0，1）上单调递减；
当1＜t＜3时，h（t）=，＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=-．
综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，的最小值为，即得h的最小值为-m=．
方法2：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），
g（t）=f（x）+=-xt++x³=的最小值．
由于-x≤0，当t∈（-∞，1）时，g^′（t）≤0；由于1-x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g^′（t）≥0．
考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x³-x．
下面再求关于x的函数h（x）=x³-x在x∈[0，1]时的最小值．
h^′（x）=3x²-1，令h^′（x）=0，解得．
当时，h^′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当时，h^′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
故h（x）的最小值为．
综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.的最小值m=-，即得h的最小值为-m=．
分析：（1）对t分类讨论，利用导数与单调性的关系即可得出；
（2）把问题正确等价转化，通过分类讨论，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得出．
点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数研究函数单调性、极值、最值、及把问题正确等价转化是解题的关键．