Question

函数f（x）=sinx+cosx，设x∈[-

π

6

，

π

3

]，若f²（x）≥a恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，1-

3

2

]

．

Answer 1

分析：化简函数f（x）=

2

sin（x+

π

4

），根据x∈[-

π

6

，

π

3

]，利用正弦函数的定义域和值域求得

3 -1

2

≤f（x）≤

2

．再由 f²（x）≥a恒成立，可得
(

3 -1

2

)2=1-

3

2

≥a，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），设x∈[-

π

6

，

π

3

]，则 x+

π

4

∈[

π

12

，

7π

12

]，故 sin

π

12

≤sin（x+

π

4

）≤sin

π

2

．
求得sin

π

12

=sin（

π

3

-

π

4

）=sin

π

3

cos

π

4

-cos

π

3

sin

π

4

=

6 - 2

4

，∴

6 - 2

4

≤sin（x+

π

4

）≤1，故

3 -1

2

≤f（x）≤

2

．
再由 f²（x）≥a恒成立，可得 (

3 -1

2

)2=1-

3

2

≥a，故实数a的取值范围为（-∞，1-

3

2

]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．