Question

已知离心率为

3

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
（1）求椭圆的C方程．
（2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M（2，1）及隐含条件a²=b²+c²列方程组可求a²，b²，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，设出A，B两点的坐标，把直线和椭圆联立后可求A，B两点的横坐标的和与积，把直线MA，MB的斜率k₁、k₂分别用A，B两点的坐标表示，把纵坐标转化为横坐标后，则k₁+k₂仅含A，B两点的横坐标的和与积，化简整理即可得到结论．

解答：（1）解：设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由题意得：

c a = 3 2              ① a2=b2+c2   ② 4 a2 + 1 b2 =1      ③

，
把①代入②得：a²=4b²④．
联立③④得：a²=8，b²=2．
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）证明：∵M（2，1），∴kOM=

1

2

又∵直线l∥OM，可设l：y=

1

2

x+m，将式子代入椭圆C得：x2+4(

1

2

x+m)2-8=0，
整理得：x²+2mx+2m²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4．
设直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

．
下面只需证明：k₁+k₂=0，
事实上，k1+k2=

1 2 x1+m-1

x1-2

+

1 2 x2+m-1

x2-2

=

1 2 (x1-2)+m

x1-2

+

1 2 (x2-2)+m

x2-2

=1+m(

1

x1-2

+

1

x2-2

)
=1+m•

x1+x2-4

x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•

-2m-4

2m2-4-2(-2m)+4

=1-

2m2+4m

2m2+4m

=0．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．