题目内容

已知α为锐角，则“sinα＞ $数学公式$ 且cosα＞ $数学公式$ ”是“sin2α＞ $数学公式$ ”的

A.
充分必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分而不必要条件
D.
既不充分也不必要条件

A
分析：由题意可得，满足α₁＜α＜α₂且 $\text{[math]}$ 时0＜2α₁＜2α＜2α₂＜π且2α₁+2α₂=π，而sin2α₁=2sinα₁cosα₁= $\text{[math]}$ ，可得sin2α＞ $\text{[math]}$ ，可判断
解答：

解：∵α为锐角，且sinα＞ $\text{[math]}$ 且cosα＞ $\text{[math]}$
∴α的终边位置为如图所示的阴影区域的部分
∴α₁＜α＜α₂且 $\text{[math]}$
∴0＜2α₁＜2α＜2α₂＜π且2α₁+2α₂=π
∴sin2α₁=sin2α₂
∵sin $\text{[math]}$
∴cos $\text{[math]}$
∴sin2α₁=2sinα₁cosα₂= $\text{[math]}$
∴sin2α＞ $\text{[math]}$
由于α为锐角，以上的过程可逆
∴sinα＞ $\text{[math]}$ 且cosα＞ $\text{[math]}$ 是sin2α＞ $\text{[math]}$ 的充分必要条件
故选A
点评：本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是灵活利用三角函数的性质，具有一定的综合性