题目内容
数列{an}满足Sn=2n-an，n∈N*，先计算前4项后，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．分析：先通过前4项进行归纳猜想，用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设ak=
，证明
ak+1=
，即可得到猜想成立．
| 2k-1 |
| 2k-1 |
ak+1=
| 2k+1-1 |
| 2k |
解答：解：计算得：a1=1，a2=
，a3=
，a4=
． 猜想 an=
．
证明：当 ①n=1时，计算得a1=1，结论成立；
②设n=k时，ak=
，则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=[2(k+1)-ak+1]-(2k-ak)=
-ak+1，
∴ak+1=
，故当n=k+1时，猜想也成立．
综①②可知，an=
成立．
| 3 |
| 2 |
| 7 |
| 4 |
| 15 |
| 8 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
证明：当 ①n=1时，计算得a1=1，结论成立；
②设n=k时，ak=
| 2k-1 |
| 2k-1 |
| 2k+1-1 |
| 2k-1 |
∴ak+1=
| 2k+1-1 |
| 2k |
综①②可知，an=
| 2n-1 |
| 2n-1 |
点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．
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