Question

(08年金华一中)  如图，已知正三棱柱， 是线段上一点，且∥平面。记。

    （1）求的值；

（2）若∠，求二面角的大小；

 

 

Answer 1

解析：（1）连结交于O，则O是的中点，连结DO。

∵∥平面，∴∥DO  

∴D为AC中点，∴ 

（2）设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

 ∵∠ = 60°，∴= 。

作DE⊥BC于E。∵平面⊥平面ABC，

∴DE⊥平面，作EF⊥于F，连结DF，则 DF⊥

∴∠DFE是二面角D--C的平面角

在Rt△DEC中，DE=，在Rt△BFE中，EF = BE?sin∠

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－－C的大小为arctan 

 

解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，

设| AD | = 1，∵∠ =60°∴|| =。

   则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），

（1，0）， ，

（2）=（-1，0，），

     设平面BD的法向量为，则，     即

  则有= 0令z = 1,则= （，0，1）

设平面BC的法向量为,=（0，0，），

        即  ∴z′= 0

      令y = -1，解得= （，-1，0），，

二面角D―B―C的大小为arc cos