Question

已知函数f（x）=x²+ax+b．
（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，求证：M≥b+1；
（3）若a∈(0，

1

2

)，求证：对于任意的x∈[-1，1]，|f（x）|≤1的充要条件是

a2

4

-1≤b≤-a．

Answer 1

分析：（1）原不等式恒成立，可化为二次函数F（x）=x²+（a-2）x+b-a在R上的最小值大于或等于0，由此建立关于a、b的不等式，再根据平方非负的性质，即可得到b的取值范围；
（2）根据题意，f（-1）和f（1）都小于等于M，将此两个不等式相加，即可证明要求证的不等式成立；
（3）讨论得：函数的最小值为b-

1

4

a²，最大值为1+a+b．结合不等式|f（x）|≤1的等价形式：-1≤f（x）≤1，即可得到满足题意的充要条件是

a2

4

-1≤b≤-a．

解答：解：（1）对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，即不等式f（x）-2x-a≥0对?x∈R恒成立，
记F（x）=x²+（a-2）x+b-a，则F（x）的最小值为F（

2-a

2

）=-

1

4

（a-2）²+b-a≥0，
即b≥1+

1

4

a²≥1，所以b的取值范围是[1，+∞）
（2）∵x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，
∴f（-1）≤M且f（1）≤M，即

1-a+b≤M 1+a+b≤M

，两式相加得2+2b≤2M
所以不等式M≥b+1成立；
（3）∵0＜a＜

1

2

，∴-

1

4

＜-

a

2

＜0，函数f（x）=x²+ax+b的图象的对称轴x=-

a

2

∈[-1，1]，
∴函数在[-1，-

a

2

）上是减函数，在（-

a

2

，1]上是增函数
因此函数f（x）=x²+ax+b的最小值为f（-

a

2

）=b-

1

4

a²，最大值为f（1）=1+a+b
而不等式|f（x）|≤1即-1≤f（x）≤1，它的充要条件是1+a+b≤1且-1≤b-

1

4

a²
解之得

1

4

a²-1≤b≤-a，命题得证．

点评：本题以充要条件的判断与证明为载体，着重考查了二次函数求最值、二次不等式恒成立和含有参数的不等式讨论等知识，属于中档题．