Question

已知α+2β=

2π

3

，α和β为锐角；
（1）若tan（α+β）=2+

3

；求β；
（2）若tanβ=（2-

3

）cot

α

2

，满足条件的α和β是否存在？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为α+2β=

2π

3

，
∴tanβ=tan[（α+2β）-（α+β）]=

tan(α+2β)-tan(α+β)

1+tan(α+2β)tan(α+β)

=

tan 2π 3 -2- 3

1+(2+ 3 )tan 2π 3

=

- 2 3 -2

-2 3 -2

=1
由β为锐角，得到β=

π

4

．
（2）由α+2β=

2π

3

得

α

2

+β=

π

3

，
∴tan（

α

2

+β）=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=tan

π

3

=

3

，
∵tanβ=（2-

3

）cot

α

2

即tan

α

2

tanβ=2-

3

∴tan

α

2

+tanβ=3-

3

，
于是tan

α

2

和tanβ是一元二次方程x²-（3-

3

）x+2-

3

=0的两根，
解得x₁=1，x₂=2-

3

．
若tan

α

2

=1，则α=90°与0＜α＜90°矛盾，舍去；
∴tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
故满足条件的α和β存在，且α=30°，β=45°．