Question

【题目】（题文）已知函数的两个零点为．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）求导数，分类讨论，利用函数的两个零点，得出

，即可求实数的取值范围；

（2）由题意，方程有两个根为，不妨设，要证明，即证明，即证明，令，证明对任意恒成立即可.

（1），当时，，

在上单调递增，不可能有两个零点；

当时，由可解得，由可解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

要使得在上有两个零点，则，解得，

则m的取值范围为．

（2）令，则，

由题意知方程有两个根，

即方程有两个根，

不妨设，，令，

则当时，单调递增，时，单调递减，

综上可知，，

要证，即证，即，即证，

令，下面证对任意的恒成立，

∵，∴，

∴

又∵，∴

∴，则在单调递增

∴，故原不等式成立．