Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数f′（x）然后在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的区间为单调增区间，f′（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，从而求m的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

a

x

-a=

a(1-x)

x

（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）
（2）∵函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线倾斜角为45°，
∴f′（2）=

-a

2

=1，解得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，
则函数g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
综上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0   g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9．
故m的取值范围为：-

37

3

＜m＜-9．

点评：本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．