Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（）．又数列{a_n}满足，a₁=，a_n+1=．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_2n+1-T_n≤（其中m∈N^*）对N∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用赋值法先求出f（0）的值，然后令x=0，y∈（-1，1）可得f （-y）=-f （y），然后根据奇函数的定义可得结论；
（II）令x=a_n，y=-a_n，可得f （a_n）与f （a_n+1）的关系，从而可知数列{f（a_n）}是以f（a₁）=f（）=-1为首项，2为公比的等比数列，从而求出所求；
（III）先求出b_n，表示出前n项和T_n，然后根据T_2n+1-T_n≤（其中m∈N^*）对N∈N^*恒成立，只需利用单调性研究T_2n+1-T_n的最大值，建立不等式关系，解之即可．
解答：（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有f（0）-f（0）=f（），
可解得f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），则有f（0）-f（y）=f（），即f （-y）=-f （y），
∴f （x）是（-1，1）上的奇函数．…（4分）
（Ⅱ）解：令x=a_n，y=-a_n，于是f（a_n）-f（-a_n）=f（），
由已知得2f （a_n）=f （a_n+1），
∴，
∴数列{f（a_n）}是以f（a₁）=f（）=-1为首项，2为公比的等比数列．
∴f（a_n）═1×2^n-1=-2^n-1…（8分）
（III）解：由（II）得f（a_n+1）=-2ⁿ，于b_n=．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（1+++…），
T_2n+1=（1+++…），
∴T_2n+1-T_n=（++…+）．
令k（n）=（++…+）．
于是k（n+1）=（++…+）．
∴k（n+1）-k（n）=（+-）=-＜0．
∴k（n+1）＜k（n），即k（n）在N*上单调递减，
∴k（n）_max=k（1）=T₃-T₁=，
∴≥即m≥．
∵m∈N^*，
∴m的最小值为7．…（12分）
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及函数的奇偶性和数列的求和，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．