Question

19．已知函数f（x）=k（x+1）²-ln（x+1）（k∈R）．
（1）当k=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若x轴是曲线y=f（x）的一条切线，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）当k=$\frac{1}{2}$时，化简f（x）=$\frac{1}{2}$（x+1）²-ln（x+1），从而求导f′（x）=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，从而判断函数的单调性及极值；
（2）求导f′（x）=$\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}$，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}=0}\\{k（x+1）^{2}-ln（x+1）=0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）当k=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+1）²-ln（x+1），
其定义域为（-1，+∞）；
f′（x）=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，
故当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调减区间为（-1，0），单调增区间为（0，+∞）；
（2）∵f（x）=k（x+1）²-ln（x+1），
∴f′（x）=$\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}$，
又∵x轴是曲线y=f（x）的一条切线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k（x+1）^{2}-1}{x+1}=0}\\{k（x+1）^{2}-ln（x+1）=0}\end{array}\right.$，
解得，x+1=$\sqrt{e}$，k=$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及几何意义的应用．