题目内容

已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.

(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.

(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

 

【答案】

(I)  (II) 不可能是菱形

【解析】利用椭圆的对称性，结合图形完成第(I)小题.设出直线方程，把直线方程和椭圆方程联立，设而不求，结合菱形的特点进行判断.

(I) 椭圆W：的右顶点，因为四边形OABC为菱形，所以和互相垂直平分.

所以可设，代入椭圆方程得，解得.

所以菱形OABC的面积为.

(II)假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..

由消去y并整理得.

设,则，，

所以AC的中点.

因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.

因为，所以AC和OB不垂直.

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.

所以当B不是W的顶点，四边形OABC不可能是菱形.

【考点定位】本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.通过整体代换，设而不求，考查了数据处理能力和整体思想的应用.

 

练习册系列答案
相关题目
已知A、B、C是椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2
3
，0)，BC过椭圆M的中心，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|
DP
|=|
DQ
|，求实数t的取值范围．
精英家教网如图所示，已知A，B，C是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2
3
，0)，BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求点C的坐标及椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E上存在两点P，Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量
PQ
与
AB
是否共线，并给出证明．
已知A，B，C是椭圆m：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2
3
，0），BC过椭圆m的中心，且
AC
•
BC
=0，且|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且|
DP
|=|
DQ
|．求实数t的取值范围．
精英家教网如图所示，已知A、B、C是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三点，，BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．则椭圆的离心率为
 
．
（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：
x24
+y2=1上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

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