Question

【题目】已知离心率为 的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点P（﹣1， ）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AB：y=k（x+1）交椭圆C于A、B两点，交直线l：x=m于点M，设直线PA、PB、PM的斜率依次为k1、k2、k3 ， 问是否存在实数t，使得k1+k2=tk3？若存在，求出实数t的值以及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆的离心率e= = ，则a= c，

b2=a2﹣c2=c2，将P代椭圆方程： ，则 ，解得：c=1，

则a= ，b=1，

∴椭圆的方程：

（2）解：由题意可知：k显然存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

则 ，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

当x=m时，y=k（m+1），

则k1= ，k2= ，则k3= ，

则k1+k2= + = = =2k+ ，

由k1+k2=tk3，2k+ =t× =tk﹣ ，则当t=2，m=﹣2

∴当直线l：x=﹣2，存在实数t=2，使得k1+k2=tk3成立

【解析】（1）由椭圆的离心率公式，将P代椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得k1+k2及k3，假设存在实数t，使得k1+k2=tk3，代入即可求得t和m的值．