题目内容
已知k为正常数，方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．（1）求实数u的取值范围；
（2）求使不等式（
-x1） （
-x2）≥（
-
）2恒成立的k的取值范围．
【答案】分析：（1）根据方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．可建立不等式组，从而得解；
（2）先利用韦达定理，将左边表示成实数u的式子，利用导数法研究其最小值，从而解决恒成立问题．
解答：解：（1）由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．
所以
…（3分）解得0＜u≤
，
即实数u的取值范围是（0，
]；…（6分）
（2）（
-x1） （
-x2）=x1x2+
-
=u-
+2．
令f （u）=u-
+2（u＞0），所以f′（u）=1+
，…（8分）
（i）若k≥1，因为0＜u≤
，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，
]为增函数，所以
u-
+2≤f （
）=
-
+2=（
-（
）2，
即（
-x1） （
-x2）≥（（
-（
）2不恒成立．…（10分）
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+
=0，得u=
，
当u∈（0，
），f′（u）＜0；当u∈（
，+∞），f′（u）＞0，
所以函数f （u）在（0，
]上递减，在[
，+∞）上递增，…（12分）
要使函数f （u）在（0，
]上恒有f （u）≥f （
），必有
≥
，即k4+16 k2-16≤0，…（14分）
解得0＜k≤2
．综上，k的取值范围是（0，2
]．…（16分）
点评：本题以方程为载体，考查方程根问题，考查恒成立的处理，关键是进行分类讨论，利用导数研究函数的最小值．
（2）先利用韦达定理，将左边表示成实数u的式子，利用导数法研究其最小值，从而解决恒成立问题．
解答：解：（1）由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．
所以
…（3分）解得0＜u≤，即实数u的取值范围是（0，
]；…（6分）（2）（
-x1） （-x2）=x1x2+-=u-+2．令f （u）=u-
+2（u＞0），所以f′（u）=1+，…（8分）（i）若k≥1，因为0＜u≤
，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，]为增函数，所以u-
+2≤f （）=-+2=（-（）2，即（
-x1） （-x2）≥（（-（）2不恒成立．…（10分）（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+
=0，得u=，当u∈（0，
），f′（u）＜0；当u∈（，+∞），f′（u）＞0，所以函数f （u）在（0，
]上递减，在[，+∞）上递增，…（12分）要使函数f （u）在（0，
]上恒有f （u）≥f （），必有≥，即k4+16 k2-16≤0，…（14分）解得0＜k≤2
．综上，k的取值范围是（0，2]．…（16分）点评：本题以方程为载体，考查方程根问题，考查恒成立的处理，关键是进行分类讨论，利用导数研究函数的最小值．
练习册系列答案
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，则动点P的轨迹为椭圆；
与椭圆
有相同的焦点；
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
，则点P的轨迹是一条直线.