Question

已知当x∈R时，函数y=f（x）满足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，且f(1)=

4

3

，则f（2010）的值为（　　）

• A．

  2010

  3

• B．

  2014

  3

• C．671
• D．268

Answer 1

分析：根据当x∈R时，函数y=f（x）满足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，令x=n，（n∈N^*，n≥2），可以推出数列{f（n）}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可求得结果．

解答：解：∵当x∈R时，函数y=f（x）满足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，
∴n∈N^*，n≥2，有f( n )=f[ 2.5+(n-2.5 )]=f( 1.5+(n-2.5 ))+

1

3

=f( n-1 )+

1

3

，
∴数列{f（n）}是以f（1）为首项，

1

3

为公差的等差数列，
∴f（2010）=

4

3

+

1

3

(2010-1)=671
故选C．

点评：本题考查函数与数列的结合，由函数y=f（x）满足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，构造一个等差数列是解题的关键，属难题．