Question

14．若复数z满足|z-2i|=1（i为虚数单位），则|z|的最小值为1．

Answer 1

分析 设z=x+yi，（x，y∈R），根据|z-2i|=1，可得x²=1-（y-2）²（y∈[1，3]）．代入|z|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，即可得出．

解答 解：设z=x+yi，（x，y∈R），
∵|z-2i|=1，
∴|x+（y-2）i|=1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=1，∴x²=1-（y-2）²（y∈[1，3]）．
则|z|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{1-（y-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{4y-3}$≥$\sqrt{4-3}$=1．当y=1时取等号．
故答案为：1．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．