Question

半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为(    )

A.∶6            B.∶2               C.π∶2             D.5π∶12

Answer 1

解法一：作过正方体对角面的截面如下图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′=a,OC=

在Rt△C′CO中，由勾股定理，得

CC′²+OC²=OC′²，

即a²+=R²，  ∴R=.

从而V_半球=.V_正方形=a³

因此V_半球∶V_正方体=∶a³=π∶2.

解法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.

设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得

(2R)²=a²+a²+(2a)²，即4R²=6a²，

∴R=.

从而V_半球=.

V_正方体=a³.

因此V_半球∶V_正方体=∶a³=π∶2.

答案：B