Question

对数运算性质

①log_a(MN)＝log_aM＋log_aN，

②log_a＝log_aM－log_aN，

③log_aMⁿ＝nlog_aM(n∈R)，

其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0．

(请给出证明)

Answer 1

答案：
解析：

证明：①设logaM＝p，logaN＝q，由对数的定义可以得：M＝ap，N＝aq，所以MN＝apaq＝ap+q，得loga(MN)＝p＋q，即证得loga(MN)＝logaM＋logaN． 　　②设logaM＝p，logaN＝q，由对数的定义可以得：M＝ap，N＝aq，所以＝＝ap－q，得loga＝p－q，即证得loga＝logaM－logaN． 　　③设logaM＝p，由对数的定义可以得M＝ap，则Mn＝anp，故logaMn＝logaanp＝np，即证得logaMn＝nlogaM． 　　点评：①在上述证明的过程中运用了转化的思想，在对数式转化成指数式时引入假设的思想，即设logaM＝p，logaN＝q，从而达到将对数式化成指数式，利用指数运算性质进行证明，即利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． 　　②利用以上的性质，可以使两正数的积、商的对数运算问题转化为两正数各自的对数的和、差运算，大大地方便了对数式的化简求值． 　　③注意定义域：真数的取值范围必须是(0，＋∞)，如log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)与log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的． 　　④对公式容易错误记忆，要特别注意：loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN． 　　记忆技巧：①简易语言表达：“真数相乘(除)，等于对数相加(减)”，也可以用下述的式子表达：“积的对数＝对数的和，商的对数＝对数的差”； 　　②逆向运用公式：同底对数相加(减)，底不变，真数相乘(除)，如lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1．

提示：

从特殊的对数值或对数表中可以得出上述对数的运算性质，要想证明对于所有的M＞0，N＞0都有这样的性质，必须把对数式转化成指数式，从指数运算性质入手．