Question

已知函数f（x）=x²-2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当x＞2时，f（x）＞3x-4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=x²-2lnx，知函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-3x+1=x²-2lnx-3x+4，则g′(x)=2x-

2

x

-3=

(2x+1)(x-2)

x

，当x＞2时，g′（x）＞0，由此能够证明当x＞2时，f（x）＞3x-4．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²-2lnx，
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-3x+1=x²-2lnx-3x+4，
则g′(x)=2x-

2

x

-3=

(2x+1)(x-2)

x

，
∵当x＞2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（2，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（2）=4-2ln2-6+4＞0，
∴当x＞2时，x²-2lnx＞3x-4，
即当x＞2时，f（x）＞3x-4．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．