Question

已知点A（1，0），B（0，1），C（2，sinθ）
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求sinθ的值
（2）若（

OA

+

OB

）•

OC

=

13

5

，其中O为坐标原点，且0＜θ＜π，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）根据已知的三点坐标表示出

AC

和

BC

，然后求出两向量的模，让两个模相等列出关于sinθ的方程，求出方程的解即可得到sinθ的值；（2）表示出

OA

，

OB

和

OC

，然后利用平面向量数量积的运算法则化简（

OA

+

OB

）•

OC

=

13

5

，得到关于sinθ的方程，求出方程的解即可得到sinθ的值，由θ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，然后求出tanθ的值即可．

解答：解：（1）由A（1，0），B（0，1），C（2，sinθ），得到

AC

=（1，sinθ），

BC

=（2，sinθ-1），
因为|

AC

|=|

BC

|，所以

1+sin2θ

=

4+(sinθ-1)2

，
两边平方得：1+sin²θ=4+sin²θ-2sinθ+1，解得sinθ=

1

2

；
（2）

OA

=（1，0），

OB

=（0，1），

OC

=（2，sinθ），代入（

OA

+

OB

）•

OC

=

13

5

中，
化简得：2+sinθ=

13

5

，解得：sinθ=

3

5

，又0＜θ＜π，所以cosθ=-

4

5

，
则tanθ=-

3

4

．

点评：此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道综合题．