Question

已知点A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，S_△ABC=．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由离心率及三角形的面积联立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求λ的取值范围；
（III）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，结合基本不等式，即可求△MNO面积．
解答：解：（I）由题意，，∴
∴椭圆的方程为；
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y），则
x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=
（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵，∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x，y），
∴x₁+x₂=λx，y₁+y₂=λy，
∴x=-，y=
∵P在椭圆上，
∴
化简，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②
将①、②两式，∵m≠0，∴λ²＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=，点O到直线MN的距离d=
∴S_△MNO===
由①得，代入上式并化简可得S_△MNO=
∵=2
∴S_△MNO≤
当且仅当λ²=4-λ²，即时，等号成立
∴当时，△MNO的面积最大，最大值为．
点评：本题主要考查待定系数法求圆锥曲线的方程，要注意椭圆的三个参数的关系为：a²=b²+c²；求解直线与椭圆的位置关系问题，通常是联立方程组，利用韦达定理求解．