Question

半径为R的圆外接于△ABC，且2R（sin²A-sin²C）=（

3

a-b）sinB．
（1）求角C；　　
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）把b=2RsinB，a=2RsinA代入已知等式并应用正弦定理得 a²+b²-c²=

3

ab，由余弦定理 可求cosC，可求C，
（2）由

3

ab=a²+b²-c²，利用基本不等式求得ab最大值，从而求得△ABC面积的最大值

解答：解：（1）由正弦定理可得a=2RsinB，c=2RsinC
代入已知等式得 2R（sin²A-2sin²C）=（

3

a-b）sinB=

3

sinAsinB-sin²B，
∴sin²A+sin²B-sin²C=

3

sinAsinB，
∴a²+b²-c²=

3

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

∴C=30°．
（2）∵ab=

3

3

（a²+b²-c²）=

3

3

（a²+b²-4Rsin²C）²=

3

3

（a²+b²-4R）≥

3

3

（2ab-4R），
∴ab≤（2+

3

）R（当且仅当a=b时，取等号），
∴△ABC面积的最大值为S=

1

2

absinC=

1

2

(2+

3

)×

1

2

R=

2+ 3

4

R

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab≤（2+

3

）R是解题的难点．