Question

（2009•金山区二模）已知复数z₀=

2a+1

+ai和z=z₀-|z₀|+1-（1+

2

）i，i为虚数单位，a为实数．证明：复数z不可能为纯虚数．

Answer 1

分析：本题要验证一个复数是一个纯虚数，从正面不好下手，采用反证法来做，先假设是一个纯虚数，推出矛盾，得到要证明的结论．

解答：证明：因为2a+1≥0，所以a≥-

1

2

…（2分）
所以|z₀|=|a+1|=a+1…（4分）
z=

2a+1

+a i-（a+1）+1-（1+

2

）i
=（

2a+1

-a）+（a-1-

2

）i…（6分）
若使z为纯虚数，则有

2a+1

-a=0  （1）
a-1-

2

≠0    （2）…（9分）
解方程（1）得：a=1+

2

（ a≥-

1

2

），…（11分）
代入（2）不符合，
故假设z为纯虚数是错误的，
故z不可能为纯虚数…（12分）

点评：本题考查复数的基本概念，考查复数的代数形式的加减运算和乘除运算，考查用反证法来证明复数是一个纯虚数，本题解题的关键是推出矛盾，本题是一个中档题目．