Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD与底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F
（Ⅰ）证明PA∥平面EBD．
（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）求二面角P-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以D为坐标原点，DA，DC，DP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，连接P与底面ABCD的中心G点，分别求出向量

PA

，

EG

的坐标，易判断两个向量平行，进而根据线面平行的判定定理得到PA∥平面EBD．
（Ⅱ）分别求出向量

PB

，

DE

的坐标，根据两个向量数量积等0，可得PB⊥DE，结合已知中EF⊥PB及线面垂直的判定定理可得PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）分别求出平面PDE与平面DEF的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角P-DE-F的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间坐标系．
设底面正方形的边长是a．
连接AC，BD相交于G连EG
…（2分）
依题意得：A（a，0，0），P（0，0，a），E(0，

a

2

，

a

2

)
由于底面ABCD是正方形，故G（

a

2

，

a

2

，0)
∴

PA

=(a，0，-a)，

EG

=(

a

2

，0，-

a

2

)

PA

=2

EG

，
即PA∥EG，EG?平面EDB，PA?平面EDB
故PA∥平面EBD．…（6分）
（Ⅱ）依题意得：B（a，a，0），

PB

=(a，a，-a)，

DE

=(0，

a

2

，

a

2

)

PB

•

DE

=(a，a，-a)•(0，

a

2

，

a

2

)=0?PB⊥DE，
由已知EF⊥PB
故，PB⊥平面EFD                         …（10分）
（Ⅲ）由题意知平面PDC的法向量

DA

=(a，0，0)
由（Ⅱ）知平面PDC的法向量 

PB

=(a，a，-a)∴cos?

DA

，

PB

＞=

DA • PB

| DA |•| PB |

=

1

3

=

3

3

∴二面角P-DE-F的余弦值是

3

3

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，解答的关键是建立空间坐标系，将线线平行，线线垂直及面面夹角问题转化为向量平行、垂直及夹角问题．