Question

已知函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，x∈R．
①求函数的周期；
②写出函数的单调增区间；
③当x∈[-

π

3

，

π

4

]时，求函数的最大值．

Answer 1

分析：由已知中函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，根据二倍解公式，及辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数
①根据函数的解析式，求出ω，代入T=

2π

ω

，即可求出函数的周期；
②根据正弦函数的单调性，构造不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解不等式即可求出函数的单调增区间；
③当x∈[-

π

3

，

π

4

]时，分析出相位角的范围，进而根据正弦型函数的性质得到函数的最大值．

解答：解：y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2=2cos2x+2

3

sin2x=4sin(2x+

π

6

)
①函数的周期T=

2π

2

=π
②当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
⇒x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]为函数的单调增区间 
③当x∈[-

π

3

，

π

4

]时，⇒2x+

π

6

∈[-

π

2

，

2π

3

]⇒2x+

π

6

=

π

2

时，函数的最大值为4．

点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中熟练掌握正弦型函数的参数与性质的关系是解答本题的关键．