Question

2．已知曲线C：y=e^x+a 与直线y=ex+3相切，其中e为自然对数的底数．
（1）求实数a的值；
（2）求曲线C上的点P到直线y=x-4的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，再由曲线C：y=e^x+a 与直线y=ex+3相切通过比较系数求得实数a的值；
（2）设出与直线y=x-4平行且与曲线C：y=e^x+3相切的直线与曲线的切点坐标，由函数在切点处的导数等于1求得切点横坐标，代入原函数求得切点坐标，由点到直线的距离公式求得曲线C上的点P到直线y=x-4的距离的最小值．

解答 解：（1）设切点为（x₀，y₀），
由y=e^x+a，得y′=e^x，
则${y}^{′}{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
∴过切点的切线方程为$y-{e}^{{x}_{0}}-a={e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
即$y={e}^{{x}_{0}}x-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}+{e}^{{x}_{0}}+a$．
又曲线C：y=e^x+a 与直线y=ex+3相切，
则$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=e}\\{-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}+{e}^{{x}_{0}}+a=3}\end{array}\right.$，解得：a=3；
（2）设与直线y=x-4平行且与曲线C：y=e^x+3相切的直线与曲线的切点为（x₁，y₁），
则${e}^{{x}_{1}}=1$，即x₁=0，
则切点坐标为（0，4），
∴曲线C上的点P到直线y=x-4的距离的最小值为$\frac{|-1×4-4|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．