题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A为椭圆C短轴的一个端点，直线AF₁与C的另一个交点为B，若|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，则C的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：根据椭圆的定义，|AF₂|、|AB|、|BF₂|均与a有联系，结合|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，列相关的方程，寻求a c的值或a，c的关系．
解答：由椭圆的标准方程可得，|AF₂|=a=3，设|BF₂|=x，根据椭圆的定义，|B F₁|=6-x，∴|AB|=|AF₁|+|B F₁|=3+（6-x）=9-x．∵|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，列方程3+x=2（9-x），∴x=5，△BAF₂是直角三角形，∴|F₁F₂|= $\text{[math]}$ |AF₂|即2c= $\text{[math]}$ a，∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选B
点评：椭圆的定义显示了椭圆的几何本质，在此基础上椭圆中具有明显几何意义的线段如，∴|F₁F₂|=2c，|AF₂|=a等要熟练准确．

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⑴求离心率的范围；

⑵若椭圆上的点

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（Ⅰ）求椭圆的方程；

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