Question

已知函数f（x）=x²e^ax，其中a≥0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，0]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），讨论a，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
（Ⅱ）欲求函数f（x）在区间[-1，0]上的最大值，先求f（x）在区间[-1，0]上的单调性，讨论a的值，分别求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＞0时，令 f′（x）=0，得x（ax+2）=0，故x=0或x=-

2

a

．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若-

2

a

＜x＜0，则f′（x）＜0，从而f（x）在（-

2

a

，0））上单调递减；
若 x＜-

2

a

，则f′（x）＞0，从而f（x）在（-∞，-

2

a

）上单调递增．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[-1，0]上的最大值是f（-1）=1．
（ii）当-

2

a

＜-1⇒0＜a＜2时，f（x）在区间[-1，0]上递减，最大值是f（-1）=e^-a．
（iii）当-

2

a

≥-1⇒a≥2时，f（x）在区间[-1，0]上先增后减，最大值是 f（-

2

a

）=

4

a2•e2

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．