题目内容

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₄= $数学公式$ ，则a₁a₂+a₂a₃+…+a₅a₆=________．

$\text{[math]}$
分析：由题意可得数列{a_n}是首项a₁=2，公比q= $\text{[math]}$ 的等比数列，求出通项公式，可得数列{a_na_n+1}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，利用等比数列的前n项和公式，a₁a₂+a₂a₃+…+a₅a₆为数列{a_na_n+1}的前5项和．
解答：由数列{a_n}是等比数列，a₁=2，a₄= $\text{[math]}$ ，可得公比q= $\text{[math]}$ ，首项a₁=2，
∴a_n= $\text{[math]}$ ，a_n+1= $\text{[math]}$ ，∴a_na_n+1= $\text{[math]}$ ，又a₁a₂=2，
∴数列{a_na_n+1}是2为首项， $\text{[math]}$ 公比为的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a₅a₆= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，判断数列{a_na_n+1}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，是解题的关键，属中档题．