题目内容

设函数f（x）=
sinθ
3
x3+
3
cosθ
2
x2+
3
tanθ•x，其中θ∈[0，
π
6
]，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的取值范围是（　　）
分析：利用导数的运算法则可得f′（1），再利用三角函数的单调性即可得出．
解答：解：f′（x）=x2sinθ+
3
xcosθ+
3
tanθ，
∴f′（1）=sinθ+
3
cosθ+
3
tanθ
=2(
1
2
sinθ+
3
2
cosθ)+
3
tanθ
=2sin(θ+
π
3
)+
3
tanθ，
∵θ∈[0，
π
6
]，∴(θ+
π
3
)∈[
π
3
，
π
2
]，可知sin(θ+
π
3
)在θ∈[0，
π
6
]上单调递增；
又tanθ在θ∈[0，
π
6
]上单调递增，
∴f′（1）在θ∈[0，
π
6
]上单调递增，
又θ=0时，f′（1）=
3
；θ=
π
6
时，f′（1）=2+
3
×tan
π
6
=3．
∴f′（1）的取值范围是[
3
，3]．
故选：D．
点评：本题考查了导数的运算法则、三角函数的单调性，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的图象过点（
π8
，-1）．
（1）求φ；  
（2）求函数y=f（x）的周期和单调增区间；
（3）在给定的坐标系上画出函数y=f（x）在区间，[0，π]上的图象．
设函数f（x）=sin（2π+?）（-π＜?＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
π8
．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．
设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
π8
．
（1）求φ；
（2）怎样由函数y=sin x的图象变换得到函数f（x）的图象，试叙述这一过程．
设函数f （x）=sin(2x+
π
3
)+
3
3
sin2x-
3
3
cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移
π
3
个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间[-
π
6
，
π
3
]上的值域．
设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜?＜
π
2
），给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
π
12
对称；        
②它的周期为π；
③它的图象关于点（
π
3
，0）对称；      
④在区间[-
π
6
，0]上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1）
①③⇒②④
①③⇒②④
； （2）
①②⇒③④
①②⇒③④
．

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