Question

在平面直角坐标系上，设不等式组（）

所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.

（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和,是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ），，，＝3n ，（Ⅱ）满足题设的自然数m存在，其值为0

解析:

（Ⅰ）当n＝1时，D₁为Rt△OAB₁的内部包括斜边，这时，

        当n＝2时，D₂为Rt△OAB₂的内部包括斜边，这时，

        当n＝3时，D₃为Rt△OAB₃的内部包括斜边，这时，……， ---3分

由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分

下面用数学归纳法证明:

当n＝1时，猜想显然成立。

假设当n＝k时，猜想成立，即，（） ----5分

如图，平面区域为Rt内部包括斜边、平面区域为

Rt△内部包括斜边，∵平面区域比平面区域多3

个整点， ------- 7分            

 即当n＝k+1时，，这就是说当n＝k+1时，

猜想也成立，

由（1）、（2）知＝3n对一切都成立。 ---------------------8分

（Ⅱ）∵＝3n,   ∴数列是首项为3，公差为3的等差数列,

∴.

  -------------------------10分

    == -------------------------------11分

∵对一切，恒成立,   ∴

∵在上为增函数 ∴ ---13分

，满足的自然数为0，

∴满足题设的自然数m存在，其值为0。 -------------------------14分