题目内容
在平面直角坐标系上，设不等式组
|
所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点（即横坐标和纵坐标均
为整数的点）的个数为an（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3并猜想an的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列{an}的前项和为Sn，数列{
| 1 |
| Sn |
是否存在自然数m？使得对一切n∈N*，Tn＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由题设知Dn内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-mx+3m为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，由y1=2n，y2=n，知an=3n（n∈N*），再用数学归纳法证明．
（Ⅱ）先求得Sn=
，所以Tn=
．因为对一切n∈N*，Tn＞m恒成立，所以m＜Tn的最小值，从而可求．
（Ⅱ）先求得Sn=
| 3n(n+1) |
| 2 |
| 2n |
| 3(n+1) |
解答：
解：（Ⅰ）当n=1时，D1为Rt△OAB1的内部包括斜边，这时a1=3，
当n=2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时a2=3，
当n=3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边，这时a3=9
由此可猜想an=3n
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，猜想显然成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即ak=3k
如图，平面区域Dk为Rt△OABk内部包括斜边、平面区域Dk+1为Rt△△OABk+1内部包括斜边，∵平面区域Dk+1比平面区域Dk多3个整点，（7分）
即当n=k+1时，ak+1=3k+3=3（k+1），这就是说当n=k+1时，猜想也成立，
由（1）、（2）知an=3n对一切n∈N*都成立．（8分）
（Ⅱ）∵an=3n，∴数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，
∴Sn=
．∴
=
(
-
)，∴Tn=
∵对一切n∈N*，Tn＞m恒成立，∴m＜Tn的最小值．
∵Tn=
在[1，+∞）上为增函数∴Tn的最小值为
，∴m＜
，满足m＜
的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0．（14分）
解：（Ⅰ）当n=1时，D1为Rt△OAB1的内部包括斜边，这时a1=3，当n=2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时a2=3，
当n=3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边，这时a3=9
由此可猜想an=3n
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，猜想显然成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即ak=3k
如图，平面区域Dk为Rt△OABk内部包括斜边、平面区域Dk+1为Rt△△OABk+1内部包括斜边，∵平面区域Dk+1比平面区域Dk多3个整点，（7分）
即当n=k+1时，ak+1=3k+3=3（k+1），这就是说当n=k+1时，猜想也成立，
由（1）、（2）知an=3n对一切n∈N*都成立．（8分）
（Ⅱ）∵an=3n，∴数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，
∴Sn=
| 3n(n+1) |
| 2 |
| 1 |
| Sn |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 2n |
| 3(n+1) |
∵对一切n∈N*，Tn＞m恒成立，∴m＜Tn的最小值．
∵Tn=
| 2n |
| 3(n+1) |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴满足题设的自然数m存在，其值为0．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和不等式的应用．
练习册系列答案
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、π+2 |