Question

（2012•芜湖二模）设长方形ABCD边长分别是AD=1，AB=2（如图所示），点P在△BCD内部和边界上运动，设

AP

=α•

AB

+β•

AD

（α，β都是实数），则α+2β的取值范围是（　　）

A．[1，2]

B．[1，3]

C．[2，3]

D．[0，2]

Answer 1

分析：根据已知构造出阴影部分中的点满足的约束条件

x+2y-2≥0 0≤x≤2 0≤y≤1

，进而根据点P在△BCD内部和边界上运动，设

AP

=α•

AB

+β•

AD

，找出x，y与α，β的关系，将可行域中各角点坐标代入比照后，求出目标函数的最值，即可得到答案．

解答：解：∵长方形ABCD边长分别是AD=1，AB=2
阴影部分内的点满足

x+2y-2≥0 0≤x≤2 0≤y≤1

设P（x，y），则

AP

=(x，y)=α•(2，0)+β•(0，1)=(2α，β)
即：x=2α，y=β
因此

α+β-1≥0 0≤α≤1 0≤β≤1

当x=2，y=0，即α=1，β=0时，α+2β=1；
当x=2，y=1，即α=1，β=1时，α+2β=3；
当x=0，y=1，即α=0，β=1时，α+2β=2；
α+2β∈[1，3]
故选B

点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据已知构造出满足条件的约束条件是解答本题的关键．