Question

（本小题满分14分）已知动圆与直线相切，且过定点F(1, 0)，动圆圆心为M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且（O为坐标原点），求证：直线l过一定点．

Answer 1

,直线AB过定点 (5, 0)．

解：（1）由已知，点M到直线的距离等于到点（1，0）的距离，所以点M是以F(1, 0)为焦点，以为准线的抛物线，焦点到准线的距离p = 2，      ．．．．．．．．2分
∴   点M的轨迹方程为．                          ．．．．．．．．．4分
（2）设，由可得：  ①
∵   A、B均在抛物线上，
∴    Þ      ②              
由①②可得：，
∴   或（舍去）．                     ．．．．．．．．．．．．．8分
再由相减得：，
若，则AB⊥x轴，，由①：，结合得：，
∴   此时AB的方程为．                      ．．．．．．．．．．．．．．9分
若，则，即为直线AB的斜率，而，则AB的方程为：
，                        ．．．．．．．．．．．．．11分
即 ，
∴   也过定点 (5, 0).             ．．．．．．．．．．．．．．．13分
综上得，直线AB过定点 (5, 0)．                       ．．．．．．．．．．．．．．．14分