Question

已知，，且直线与曲线相切．
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数 都有成立；
（3）求证：．

Answer 1

（1）（2）见解析（3）见解析

（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（*）
，． （**）
由（*）、（**）两式，解得，．……………………………2分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．…………………5分
因此，实数的取值范围是．………………………………………6分
（2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．
因此，的最大值为．………………………………………10分
（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，
即．………………………………………………………11分
令，得，
化简得，………………………………13分
．………………………14分
（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，
根据（1）的推导有，时，，即．
令，得，即．
因此，时不等式成立．………………………………11分
（另解：，，，即．）
假设当时不等式成立，即，
则当时,，
要证时命题成立，即证，
即证．
在不等式中，令，得
．
时命题也成立．………………………………………13分
根据数学归纳法，可得不等式对一切成立． …14分
本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．