Question

设坐标原点为O，抛物线y²=2x上两点A、B在该抛物线的准线上的射影分别是A′、B′，已知|AB|=|AA′|+|BB′|，则

OA

•

OB

=

-

3

4

．

Answer 1

分析：设抛物线的焦点为F，准线为l．根据根据抛物线线的定义，得|AB|=|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|，可得AB是抛物线经过焦点F的弦．然后根据A、F、B三点共线，利用斜率公式列式，化简整理得到A、B两点纵坐标之积为-1，横坐标之积等于

1

4

，最后利用向量数量积的坐标公式，可算出

OA

•

OB

的值．

解答：解：设抛物线的焦点为F，准线为l
∵AA′⊥l，点A在抛物线上
∴根据抛物线线的定义，得|AA′|=|AF|．
同理可得|BB′|=|BF|，
∵|AB|=|AA′|+|BB′|，
∴|AB|=|AF|+|BF|，可得AB是抛物线经过焦点F的弦．
因为抛物线方程为y²=2x，所以焦点F坐标为（

1

2

，0），
设A（

1

2

y12，y₁），B（

1

2

y22，y₂），
∵A、F、B三点共线
∴k_AF=k_BF，可得

y1-0

1 2 y12- 1 2

=

y2-0

1 2 y22- 1 2

，
化简整理得：（y₁y₂+1）（y₁-y₂）=0，
显然y₁-y₂≠0，所以y₁y₂=-1
∴

OA

•

OB

=

1

2

y12•

1

2

y22+y₁y₂=

1

4

（y₁y₂）²+y₁y₂=

1

4

-1=-

3

4

故答案为：-

3

4

点评：本题给出抛物线的焦点弦的端点为A、B，求向量

OA

、

OB

的数量积，着重考查了抛物线的几何性质、直线斜率的公式等知识点，属于中档题．