题目内容

已知函数f（x）=-x²+2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+ $数学公式$ 有相同极值点，
（i）求实数a的值；
（ii）若对于“x₁，x₂∈[ $数学公式$ ，3]，不等式 $数学公式$ ≤1恒成立，求实数k的取值范围．

解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=-2x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x＞0）
由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1．
（Ⅱ）∵g（x）=x+ $\text{[math]}$ ，∴g′（x）=1- $\text{[math]}$ ．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，
又∵函数f（x）与g（x）=x+ $\text{[math]}$ 有相同极值点，
∴x=1是函数g（x）的极值点，
∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．
（ⅱ）∵f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ -2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，
∵-9+2ln3＜- $\text{[math]}$ -2＜=1，即f（3）＜f（ $\text{[math]}$ ）＜f（1），
∴x₁∈[[ $\text{[math]}$ ，3]时，f（x₁）_min=f（3）=-9+2ln3，f（x₁）_max=f（1）=-1
由（ⅰ）知g（x）=x+ $\text{[math]}$ ，∴g′（x）=1- $\text{[math]}$ ．
当x∈[ $\text{[math]}$ ，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．
故g（x）在[ $\text{[math]}$ ，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．
∵ $\text{[math]}$ ，g（1）=2，g（3）= $\text{[math]}$ ，
而2＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，∴g（1）＜g（ $\text{[math]}$ ）＜g（3）
∴x₂∈[[ $\text{[math]}$ ，3]时，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（3）= $\text{[math]}$
①当k-1＞0，即k＞1时，
对于“x₁，x₂∈[ $\text{[math]}$ ，3]，不等式 $\text{[math]}$ ≤1恒成立，等价于k≥[f（x₁）-g（x₂）]_max+1
∵f（x₁）-g（x₂）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，
∴k≥-2，又∵k＞1，∴k＞1．
②当k-1＜0，即k＜1时，
对于“x₁，x₂∈[ $\text{[math]}$ ，3]，不等式 $\text{[math]}$ ≤1恒成立，等价于k≤[f（x₁）-g（x₂）]_min+1
∵f（x₁）-g（x₂）≥f（3）-g（3）=- $\text{[math]}$ ，
∴k≤ $\text{[math]}$ ．
又∵k＜1，∴k≤ $\text{[math]}$ ．
综上，所求的实数k的取值范围为（-∞， $\text{[math]}$ ]∪（1，+∞）．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+ $\text{[math]}$ 有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；
（ⅱ）先求出x₁∈[[ $\text{[math]}$ ，3]时，f（x₁）_min=f（3）=-9+2ln3，f（x₁）_max=f（1）=-1；x₂∈[[ $\text{[math]}$ ，3]时，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（3）= $\text{[math]}$ ，再将对于“x₁，x₂∈[ $\text{[math]}$ ，3]，不等式 $\text{[math]}$ ≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．