Question

18．已知数列{a_n}，a_n＞0，a₁=1，S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$的n项和为T_n．问T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（2）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和，可得前n项和为T_n．再由不等式的解法即可得到n的最小正整数．

解答 解：（1）S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2），即有
（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
即为$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
则数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}为首项为1，公差为1的等差数列，
则有$\sqrt{{S}_{n}}$=1+n-1=n，
即有S_n=n²，
则a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n＞$\frac{1000}{2009}$即为n＞$\frac{1000}{9}$，
则最小正整数n为112．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．